Oleh : Risa Gestiana

Riie.com

بِسْــــــــــــــــــمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ

Persamaan Lingkaran

Materi belajar online Matematika Minat kelas XI semester 2 :

1. Konsep persamaan lingkaran

2. Bentuk umum

3. Kedudukan titik terhadap lingkaran

4. Kedudukan garis terhadap lingkaran

5. Persamaan garis singgung lingkaran

6. Contoh soal dan pembahasan

MATEMATIKA MINAT KELAS XI SEMESTER 2 : BAB 1 PERSAMAAN LINGKARAN

Konsep Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering kita gunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang akan membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.

Definisi

Persamaan lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

Persamaan lingkaran memiliki rumus yang harus kita ketahui, berikut diantaranya:

Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dengan jari-jari r

x² + y^{2 =} r²

Atau dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x² + y^{2 =} r²}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) yang memiliki jari-jari sebagai berikut:

1. 3                 2. 4                 3. 5                 4. 6

Pembahasan :

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 3 adalah x² + y^{2 =} 3² ⇔ x² + y^{2 =} 9
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 4 adalah x² + y^{2 =} 4² ⇔ x² + y^{2 =} 16
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 5 adalah x² + y^{2 =} 5² ⇔ x² + y^{2 =} 25
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 6 adalah x² + y^{2 =} 6² ⇔ x² + y^{2 =} 36

Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r

(x-a)² + (y-b)² = r²

Dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap  titik P(a,b) maka L{(x, y) | (x – a)² + (y – b)² = r²}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (6, 6) dan memiliki jari-jari r = 6!

Pembahasan :

(x – a)² + (y – b)²=r²
a=6, b=6, r=6
⇔(x – 6)² + (y – 6)² = 6²
⇔(x – 6)² + (y – 6)² = 36

Jadi persamaan lingkaran yang memiliki pusat di (6, 6) dan berjari-jari r = 6 adalah (x – 6)² + (y – 6)² = 36

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Konsep persamaan yang sudah kita bahas sebelumnya yaitu :

1. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah r² + y² = r²
2. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah (x – a)² + (y – b)² = r²

Kedua bentuk tersebut dapat diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk umum persamaan lingkaran.

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah :

x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0

 dengan titik pusat P (–A, –B) dan berjari-jari

dengan A, B, C bilangan real dan A² + B² ≥ C

Contoh soal 1 :

Dari persamaan a² + b² – r² = C dengan –a = A ; –b = B. Tentukan nilai r!

Pembahasan :

Karena a² + b² – r² = C dengan –a =A ; –b = B
maka r² = A² + B² – C² , atau

Contoh soal 2 :
Ubahlah persamaan x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 ke dalam persamaan bentuk umum!

Pembahasan :

x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0
⇔ x² + y² + 2Ax + 2By = –C
⇔ (x² + 2Ax + A²) – A² + (y² + 2By + B²) – B² = –C
⇔ (x + A)² + (y + B)² = A² + B² – C

Berdasarkan penyelesaian contoh 2 diperoleh bahwa persamaan

adalah lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Contoh soal 1 :

Jika letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan memiliki jari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Pembahasan :
Dari permasalahan diatas, maka persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 25

• Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan x² + y² = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sigaranggarang perlu mengungsi atau tidak.

• Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)

Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x² + y² = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sukatepu perlu mengungsi atau tidak.

• Untuk desa Bekerah dengan titik (2, -1)

Substitusikan titik (2, -1) pada persamaan lingkaran x² + y² = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakan desa Bekerah perlu mengungsi atau tidak.

Alternatif penyelesaian lain adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.

Definisi :

1. Jika suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v² + w² < r²
2. Suatu titik (v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v² + 
3. w² > r².

Contoh soal 2 :

Misalkan Gambar berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sukameriah, Simacem, dan desa ndeskati berdasarkan gambar di bawah ini! Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Pembahasan :

Berdasarkan permasalahan yang ada, maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)² + (y – 2)² = 25

• Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)² + (y – 2)² = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Sukameriah tersebut perlu mengungsi atau tidak.

• Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3)

Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3)² + (y – 2)² = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Simacem tersebut perlu mengungsi atau tidak.

• Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)

Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3)² + (y – 2)² = 25 , periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Ndeskati tersebut perlu mengungsi atau tidak.

Definisi:

1. Suatu titik  A(v, w) yang berada di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)² + (w – b)² < r²
2. Suatu titik A(v, w) yang berada pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)² + (w – b)² = r².
3. Suatu titik A(v, w) yang berada di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)² + (w – b)² > r².

Kedudukan  Garis Terhadap Lingkaran

(i) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada dua titik yang berlainan
(ii) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran
(iii) Sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran

Sifat Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Misalkan g garis dengan persamaan y = ax +b dan L lingkaran dengan persamaan x² + y² = r²
Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + a²) r² – b², yaitu:

1. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
2. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
3. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Dalam materi ini juga akan membahas mengenai garis singgung. Ada 3 kondisi yang membedakan cara penyelesaiannya. Berikut ini penjelasan beserta contoh untuk mengetahui lebih lengkapnya :

• Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan pada garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x² + y² = r² adalah x₁x + y₁y = r²

Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 3!

Penyelesaian :
Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0)dan berjari-jari 3 adalah x₂ + y₂ = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah

x₁x + y₁y = r²
⇔ xx₁ + yy₁ = 9
⇔ x(2) + y(0) = 9
⇔  2x – 9 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0

• Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan garis singgung melalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² adalah (x – a) (x₁ – q) + (y₁ – b) = r²

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkaran (x – 1)² + (y – 2)² = 5

Penyelesaian:
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 1)² + (y – 2)² = 5  yang melalui titik (2, 4) adalah sebagai berikut :

(x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²
⇔ (x – 1) (x₁ – 1) + (y – 2) (y₁ – 2) = 5
⇔ (x – 1) (2 – 1) + (y – 2) (4 – 2) = 5
⇔ (x – 1) 1 + (y – 2) 2 = 5
⇔  x – 1+ 2y – 4 = 5
⇔  x + 2y = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)² + (y – 2)² = 5 adalah x + 2y = 0

• Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1) !

Penyelesaian:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x² + y² = 25, karena jika titik tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan lingkaran, maka diperoleh 72 + 12 = 50  > 25

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x² + y² = 25

Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradien m, memiliki persamaan sebagai berikut :
y = mx – mx₁ + y₁
⇒ y = mx – 7m + 1
substitusikan nilai y = mx – 7m + 1 ke persamaan lingkaran x² + y² = 25 diperoleh
x² + (mx – 7m + 1)² = 25
⇔ x² + m²x²  – 49m² + 1 – 14m²x + 2m – 14 = 25
⇔ (1 + m²) x² + (2m – 14m²) x + (–49m² – 14m – 24) = 0

Selanjutnya adalah menentukan nilai diskriminan D = b² – 4ac

D = (2m – 14m²)² –4 (1 + m²) (49m² – 14m – 24)
= 4m² – 56m³ + 196m⁴ – 4 (49m² – 14m – 24 + 49m⁴ – 14m³ – 24m²)
= 4m² – 56mm³ + 1196m⁴ – 196m² + 56m + 96 – 196m⁴ + 56m³ + 96m²
= 4m² + 96m² – 196m² + 56m + 96
= –96m² + 56m + 96

Syarat D = 0

–96m² + 56m + 96 = 0
⇔ 96m² – 56m – 96 = 0
⇔ 12m² – 7m – 12 = 0
⇔ (4m + 3) (3m – 4) = 0
⇔ m = -34 atau m = -43

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung =
3x – 4y – 25=0 atau 4x – 3y – 25 = 0

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-2) dan memiliki titik pusat (3,4) ialah . . .
    a. x² – y² – 6x – 8y – 11 = 0
    b. x² + y² – 6x – 8y – 11 = 0
    c. x² + y² – 6x – 8y + 25 = 0
    d. x² – y² – 3x – 4y – 11 = 0
    e. x² – y² – 4x – 5y – 10 = 0

Pembahasan :
Diketahui titik (3,-2) dan pusat (3,4)
Cari nilai r terlebih dahulu melalui rumus di bawah ini:
(x – a)² + (y – b)² = r²
(3 – 3)² + (-2 – 4)² = r²
                  0 + 36 = r²
                           r = √36
                           r = 6

Jadi persamaan lingkarannya ialah:
             (x – a)² + (y – b)² = r²
             (x – 3)² + (y – 4)² = 6²
x² – 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 36
      x² + y² – 6x – 8y + 25 = 36
       x² + y² – 6x – 8y – 11 = 0

2. Persamaan garis singgung lingkaran yang titiknya (5,2) di x² + y² – 4x + 2y – 10 = 0 ialah . . .
    a. 3x + 3y – 18 = 0
    b. 3x + 3y + 18 = 0
    c. x + 3y – 10 = 0
    d. 5x + 2y – 10 = 0
    e. x + 3y – 12 = 0

Pembahasan :
Contoh soal persamaan lingkaran ini dapar diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini:

Diketahui persamaan lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 10 = 0 yang titiknya (5,2)
Untuk mencari garis singgung lingkarannya dapat menggunakan rumus di bawah ini:

3. Persamaan lingkaran L = (x – 5)² + (y – 1)² = 1 memotong garis y = 1. Hitunglah persamaan garis singgung lingkarannya?
    a. x = 4 dan x = 4
    b. x = 2 dan x = 3
    c. x = 2 dan x = 2
    d. x = 5 dan x = 2
    e. x = 6 dan x = 4

Pembahasan :
Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)² + (y – 1)² = 1, y = 1 di titik:
(x – 5)² + (y – 1)² = 1
(x – 5)² + (1 – 1)² = 1
         (x – 5)² + 0 = 1
x – 5 = 1 atau x – 5 = -1
     x = 6 atau       x = 4
Jadi terdapat dua titik potong yaitu (6,1) dan (4,1)

Kemudian hitung persamaan lingkarannya seperti di bawah ini:
               (x – 5)² + (y – 1)² = 1
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = 1
      x² + y² – 10x – 2y + 26 = 1
     x² + y² – 10 x – 2y + 25 = 0

Langkah selanjutnya untuk menyelesaikan contoh soal persamaan lingkaran tersebut ialah dengan memperhatikan persamaan garis singgung yang melalui titik (6,1) terhadap lingkaran L yaitu:
  x1.x + y1.y + a (x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
6x + y – ½ . 10 (6 + x) – ½ . 2 (1 + y) + 25 = 0
              6x + y – 5 (6 + x) – 1 (1 + y) + 25 = 0
                       6x + y – 30 – 5x – 1 – y + 25 = 0
                                                           x – 6 = 0
                                                                x = 6

Persamaan garis singgung yang melalui titik (4,1) terhadap lingkaran L ialah:
  x1.x + y1.y + a (x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
4x + y – ½ . 10 (4 + x) – ½ . 2 (1 + y) + 25 = 0
              4x + y – 5 (4 + x) – 1 (1 + y) + 25 = 0
                       4x + y – 20 – 5x – 1 – y + 25 = 0
                                                         -x + 4 = 0
                                                                -x = -4
                                                                 x = 4

4. Persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu Y dengan titik pusat (4,-3) ialah . . .
    a. x² – y² – 8x – 6y – 9 = 0
    b. x² + y² – 8x + 6y + 9 = 0
    c. x² + y² – 6x – 8y + 11 = 0
    d. x² – y² – 2x + 5y – 11 = 0
    e. x² – y² – 4x – 5y – 10 = 0

Pembahasan :
Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (a,b) memiliki rumus (x – a)² + (y – b)² = r²
Menyinggung sumbu Y maka jari jarinya ialah x = 4 (titik pusatnya {4,-3})
Masukkan kedalam rumus, sehingga menjadi:
              (x – a)² + (y – b)² = r²
             (x – 4)² + (y + 3)² = 4²
x² – 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 16
      x² + y² – 8x + 6y + 25 = 16
        x² + y² – 8x + 6y + 9 = 0

5. Diketahui persamaan lingkaran x² – 6x + y² + 6 = 0 di sumbu Y. Berapakah jarak antara titik pusat lingkarannya?
    a. 1
    b. 2
    c. 3
    d. 4
    e. 5

Pembahasan :
Contoh soal persamaan lingkaran di atas dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini:

Lingkaran yang berpusat pada (-a,-b) memiliki persamaan x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
Maka akan menjadi (-½ .(-6) , – ½ . 0) = (3,0)
Jadi titik pusatnya menjadi (3,0) di sumbu Y sehingga jari jarinya ialah x = 3

6. Persamaan lingkaran (x – 4)² + (y + 2)² = 4 menyinggung garis x = 2 di titik . . .
    a. (2,-2)
    b. (3,-2)
    c. (2,4)
    d. (-2,-2)
    e. (3,5)

Pembahasan :

Garis x = 2 menyinggung lingkaran yang persamaannya (x – 4)² + (y + 2)² = 4
Maka:
(x – 4)² + (y + 2)² = 4
(2 – 4)² + (y + 2)² = 4
    4 + y² + 4y + 4 = 4
          y² + 4y + 8 = 4
          y² + 4y + 4 = 0
      (y + 2)(y + 2) = 0
                          y = -2
Jadi lingkaran tadi menyinggung titik (2, -2)

7. Hitunglah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 6x + 8y + 10 = 0 berpusat di lingkaran x² + y² – 6x + 8y -19 = 0?
    a. (x – 3)² + (y + 4)² = 26
    b. (x – 2)² + (y + 3)² = 26
    c. (x – 3)² + (y + 4)² = 36
    d. (x – 2)² + (y + 4)² = 42
    e. (x – 3)² + (y + 5)² = 36

Pembahasan :
Contoh soal persamaan lingkaran ini dapat diselesaikan dengan cara seperti berikut:

Persamaan lingkaran x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 memiliki pusat yang titiknya (-a,-b) sehingga (-½ . (-6), -½ . 8) = (3,-4)

Maka dari itu titik pusat (3,-4) memiliki persamaan garis seperti di bawah ini:
(x – 3)² + (y + 4)² = r²

Hitung jari jari lingkaran yang pusatnya (3,-4) menuju garis 6x + 8y + 10 = 0, sehingga menjadi :

Masukkan nilai r kedalam persamaan lingkarannya, sehingga menjadi:
(x – 3)² + (y + 4)² = r²
(x – 3)² + (y + 4)² = 6²
(x – 3)² + (y + 4)² = 36

8. Diketahui lingkaran memiliki jari jari 10 dengan persamaan x² + y² + 2px + 20y + 16 = 0 menyinggung sumbu X. Jadi lingkaran tersebut memiliki titik pusat?
    a. (-4,-10)
    b. (4,-10)
    c. (-3,-4)
    d. (-2,-5)
    e. (-3,-2)

Pembahasan :
Contoh soal persamaan lingkaran ini dapat diselesaikan degan cara seperti berikut:

Hitung nilai p menggunakan rumus jari jari di bawah ini:

p = ± 4 maka persamaannya akan menjadi:
  x² + y² + 2px + 20y + 16 = 0
x² + y² + 2(4)x + 20y + 16 = 0
     x² + y² + 8x + 20y + 16 = 0

Persamaan x² + y² + 8x + 20y + 16 = 0 memiliki titik pusat (-½ . 8 , -½ . 20) = (-4,-10)

Titik pusat (-4,-10) memiliki persamaan lingkaran seperti di bawah ini:
    x² + y² + 2px + 20y + 16 = 0
x² + y² + 2(-4)x + 20y + 16 = 0
       x² + y² – 8x + 20y + 16 = 0
Sehingga diperoleh titik pusat = (-½ . -8 , -½ . 20) = (4,-10)

9. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 2x + 4y – 6 = 0 melalui titik (3,1) ialah . . .
    a. 2x + 3y – 7 = 0
    b. 2x + 3y + 7 = 0
    c. x + 3y – 10 = 0
    d. 5x + 2y – 10 = 0
    e. x + 3y – 12 = 0

Pembahasan :
Diketahui persamaan lingkaran x² + y² – 2x + 4y – 6 = 0 yang titiknya (3,1)
Untuk mencari garis singgung lingkarannya dapat menggunakan rumus di bawah ini:
 x1.x + y1.y + a (x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
3x + y + ½ (-2) (3 + x) + ½ . 4 (1 + y) – 6 = 0
                3x + y – 1 (3 + x) + 2 (1 + y) -6 = 0
                         3x + y – 3 – x + 2 + 2y – 6 = 0
                                                2x + 3y – 7 = 0