PtLSV

Oleh : Risa Gestiana

Riie.com

بِسْــــــــــــــــــمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ

Materi belajar online Matematika VII semester 1 :

1. Pengertian PtLSV

2. Bentuk PtLSV

3. Cara Penyelesaian SPtLSV

4. Contoh Soal & Pembahasan

MATEMATIKA KELAS VII SEMESTER 1 : BAB IV SPtLSV

Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apa itu Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ?

Jika suatu persamaan diapit oleh simbol tanda sama dengan (=), maka pertidaksamaan diapit oleh simbol selain tanda sama dengan. Simbol-simbol yang digunakan dalam pertidaksamaan adalah:

> = Lebih dari

< = Kurang dari

≥ = Lebih dari atau sama dengan

≤ = Kurang dari atau sama dengan

≠ = Tidak sama dengan

Nah karena yang kita singgung adalah linear satu variabel, maka dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa suatu "pertidaksamaan linear satu variabel" adalah :

Pertidaksamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

Bentuk Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Contoh Pertidaksamaan Linear Satu Variabel :

Yang manakah dibawah ini yang dianggap sebagai pertidaksamaan linear satu variabel

a. a + 2 < 10

b. m + 3 = 10

c. p + 2 < p + 3

d. x² − 2x + 1 ≤ 0

e. z - y > = 5

Penyelesaian:

a. Variabel pada a + 2 < 10 adalah a dan berpangkat satu, maka dianggap pertidaksamaan linear satu variabel

b. Variabel pada m + 3 = 10 adalah m dan berpangkat satu, namun karena simbolnya adalah tanda sama dengan (=), maka bukan pertidaksamaan linear satu variabel.

c. Variabel pada p + 2 < p + 3 adalah p. Walaupun terdapat dua variabel p yaitu di ruas kiri dan kanan, namun masih dianggap satu jenis variabel, yaitu : p dan berpangkat satu. Maka dianggap pertidaksamaan linear satu variabel.

d. Variabel pada x² − 2x + 1 ≤ 0 adalah x, dimana terdapat dua buah variabel x yang berpangkat satu dan dua. Walaupun sama-sama memiliki variabel x, namun tidak dianggap sejenis (karena pangkatnya berbeda). Dengan demikian tidak dianggap pertidaksamaan linear satu variabel. Model tersebut dianggap sebagai pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel x.

e. Variabel pada z - y > = 5 adalah z dan y. Karena memiliki dua variabel, maka bukan dianggap pertidaksamaan linear satu variabel. Model tersebut dianggap sebagai pertidaksamaan linear dengan dua variabel.

Cara Penyelesaian SPtLSV

Menyelesaikan sebuah pertidaksamaan linear satu variabel berarti mencari nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud. Untuk itu, kita perlu memahami sifat-sifat pertidaksamaan. Misalkan diberikan pernyataan bahwa 10 < 20 bernilai benar:

● Jika kedua ruas ditambah 2 maka 10 + 2 < 20 + 2, nilainya benar

● Jika kedua ruas dikurangi 2 maka 10 – 2 < 20 – 2, nilainya benar

● Jika kedua ruas dikalikan 2 maka 10 × 2 < 20 × 2, nilainya benar

● Jika kedua ruas dibagi 2 maka 10 : 2 < 20 : 2, nilainya benar.

● Jika kedua ruas dikali −2 maka 10 × (−2) < 20 × (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar maka tanda pertidaksamaan dibalik sehingga −20 > −40

● Jika kedua ruas dibagi −2 maka 10 : (−2) < 20 : (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar, tanda pertidaksamaannya dibalik sehingga−5 > −10.

Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

1.	Jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
2.	Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap.
3.	Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik.

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, kemudian gambarkan dalam garis bilangan.

(a) 2x + 8 > 0

(b) 5x – 15 ≤ 0

Pembahasan:

(a) 2x + 8 > 0

⇒ 2x > −8

⇒ x > −4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > −4, x ∈ R}. Himpunan penyelesaian ini, secara geometris tampak pada Gambar (a).

(b) 5x – 15 ≤ 0

⇒ 5x ≤ 15

⇒ x ≤ 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≤ 3, x ∈ R}. Garis bilangannya dapat digambarkan seperti pada Gambar (b).

Contoh Soal 2:

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini.

(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12

(b) 4x + 1 < x – 8

Pembahasan:

(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12

⇒ −2x – 3x ≥ −2 + 12

⇒ −5x ≥ 10

⇒ x ≤ −2

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x ≤ −2, x ∈ R}.

(b) 4x + 1 < x – 8

⇒ 4x – x < −8 – 1

⇒ 3x < −9

⇒ x < −3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x < −3, x ∈ R}.

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 + x ≤ 9

Pembahasan:

4 + x ≤ 9

    x ≤ 9 - 4

    x ≤ 5

Himpunan penyelesaiannya adalah {... , 3, 4, 5}

Contoh Soal 4

Tentukan nilai x dari pertidaksamaan : x – 3 ≤ 2, x bilangan bulat antara -3 dan 8

Pembahasan : 

x – 3 ≤ 2

 ⇔ x – 3 + 3 ≤ 2 + 3 (kedua ruas ditambah 3)

 ⇔ x ≤ 5

Karena nilai x berada diantara -3 sampai dengan 8, mencari penyelesaiannya

dapat dilakukan dengan mencoba satu persatu.

x ≤ 5

jika x = -2 maka -2 ≤ 5 (Benar)

Jika x = -1 maka -1 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 0 maka 0 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 1 maka 1 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 2 maka 2 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 3 maka 3 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 4 maka 4 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 5 maka 5 ≤ 5 (Benar)

Jika x = 6 maka 6 ≤ 5 (Salah)

Jika x = 7 maka 7 ≤ 5 (Salah)

Jadi, penyelesaiannya adalah {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Contoh Soal 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 5 ≤ 11 dengan x bilangan bulat.

Pembahasan:

2x + 5 ≤ 11

    2x ≤ 11 -5

    2x ≤ 6

     x ≤ 3

Karena x adalah bilangan bulat dimana bilangan bulat adalah 

bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan 

bilangan bulat positif

Maka jika diperhatikan pertidaksamaan : x ≤ 3, 

semua bilangan bulat negatif termasuk himpunan penyelesaiannya

Sedangkan untuk bilangan bulat positif dan cacah hanya : 0,1,2,3 

yang termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya dapat ditulis :

{ … , 0, 1, 2, 3 }

Contoh Soal 6

Sederhanakan bentuk pertidaksamaan : 11x + 2 < 2x + 39 + 2(x + 1)

Pembahasan : 

11x + 2 < 2x + 39 + 2(x + 1)

11x + 2 < 2x + 49 + 2x + 2

11x + 2 < 4x + 51

11x - 4x < 51 - 2

       7x < 49

        x < 7

 

Contoh Soal 7

Untuk x ε { bilangan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x – 2 < 13 adalah….

Pembahasan:

3x – 2 < 13

    3x < 13 + 2

    3x < 15

     x < 5

Karena x adalah bilangan cacah dimana bilangan cacah adalah 

bilangan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. 

Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.

Sehingga himpunan yang memungkinkan adalah :

{0, 1, 2, 3, 4}

jadi penyelesaiannya ialah x < 1/2

Contoh Soal 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaaan 5x – 10 > 7

Pembahasan : 

5x – 10 > 5

5x > 5 + 10

5x > 15

x > 15/5

x > 3

jadi penyelesaiannya ialah {4, 5, 6, ....}

Contoh Soal 9

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 9 – 4x < 45 !

Pembahasan:

9 – 4x < 45

-4x < 45 – 9

x > 36/-4 ( tanda pertidaksamaan berubah sebab dibagi dengan bilangan negatif)

x > - 9

jadi penyelesaiannya ialah {-8, -7, -6, ....}

Contoh Soal 10

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 5 < 2x -4

Pembahasan:

x + 5 < 2x -4

x- 2x < -4 -5

-x < -9

 x > 9 (tanda pertidaksamaan berubah)

jadi penyelesaiannya ialah {10, 11, 12, ....}

Contoh Soal 11

Tentukan penyelesaian dari 12 – 5a ≥ 3a

Pembahasan : 

12 – 5a ≥ 3a

– 5a - 3a ≥ -12

– 8a ≥ -12

a ≤ -12/-8

a ≤ -3/2

jadi penyelesaiannya ialah {...., -5/2, -4/2, -3/2}

Contoh Soal 12

Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar (x – 2)cm, dan tinggi x cm.

a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x!

b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut!